在1936年美国总统选举前，一家名为《文学文摘》(Literary Digest)的刊物做了一次史上最大规模的民意调查：向电话簿、汽车登记册和杂志订户名单上的约1000万地址邮寄明信片，收回约230万份。结果是兰登将以57%对43%击败罗斯福。而盖洛普仅靠约5万人的配额样本就做出了正确预测。最终罗斯福以60.8%对36.5%获胜。《文学文摘》随即破产。

这里最反直觉的点是：240万样本的预测误差超过20个百分点，而5万人的误差不到6个点。为什么？因为《文学文摘》的抽样框——电话和汽车——在1936年基本是富裕阶层专属。在大萧条的背景下，富裕阶层更倾向共和党。于是每一个回收样本都携带同一个系统性偏差：低人气的兰登被反复加权。样本量从5万增加到240万，只是把同一个偏差复制了48遍。

调查方法的第一性原理：偏差不随样本量收缩，方差才随样本量收缩。设总体中实际支持罗斯福的比例为P，抽样框中覆盖比例为F，覆盖人群中的支持率为P_cov，未覆盖人群的为P_un。当抽样框有偏时，估计的偏差 = FP_cov + (1-F)P_un - P。只要P_un ≠ P_cov，这个偏差就是一个常数，你增加样本量只会让它更精地估计一个错误的量。数学上，偏差项不随N变化，只有标准误会变窄——于是你的置信区间会很窄，却完美地错过了真值。

今天的在线调查和众包面板（MTurk、社交广告、自愿者样本）几乎以同样的方式工作：入样概率与受访者特质相关。你无法通过收集更多回应来消除这种自选择偏差。近年来大选民调的低应答率与在线面板问题，本质上也是抽样框的“电话簿化”。

所以真正值得辩论的问题是：既然完美的概率抽样在现实中越来越不可行（应答率从60%以上跌到个位数），我们是否应该明确放弃“样本代表总体”这一理想，转而诚实地定义自己的推断域？比如，把估计目标从“全体选民的态度”改成“应答人群中可测量的态度”，再辅以事后分层和多重插补。这个转向听起来是退步，但可能是让推断恢复诚实的第一步。