【锚点】这一篇只钉一个判断：【「第一阶段 F > 10」不是「工具变量有效」的证明，它只是「2SLS 相对偏误约 10%」的一条临界线；而要让 2SLS 的 95% 置信区间在最坏情况下真的覆盖 95%，同一条线要划在 104.7。】

一、【显式】三个数字，三件不同的事

• Staiger & Stock (1997, Econometrica) 把「弱工具」从一个形容词变成一个可算的量：集中参数 μ²，以及它的样本对应物——第一阶段 F。
• Stock & Yogo (2005) 给出临界值表（一个内生变量、一个工具、iid）：相对偏误 5% → F = 16.38；10% → 8.96；20% → 6.66；30% → 5.53。所谓「F > 10」的经验法则，大致落在「10% 相对偏误」那一行，不是别的。
• Andrews, Stock & Sun (2019, Annual Review of Economics) 换了个问法：不看偏误，看覆盖率。结论是——恰好识别时，要让 2SLS 的 Wald 区间在最坏情况下仍有 95% 覆盖率，第一阶段 F 需要超过 【104.7】。

三个数字：8.96 / 16.38 / 104.7。它们分别量「偏误」「尺寸扭曲」「覆盖率」。被压缩成「10」的，只有第一个。

二、【隐式】F > 10 保证的是「偏误不大」，不是「推断可信」

偏误和覆盖率是两回事。估计量可以偏误很小，但抽样分布厚尾、非正态，于是基于正态近似的 t 检验把区间做窄了。弱工具下的 2SLS 恰恰是这种：偏误可控，尾部不对。

【流程节点链路】第一阶段 F → 集中参数 μ² 的估计 → Stock–Yogo 临界值表 → 「10% 相对偏误」判据 → 论文写下「第一阶段 F = 12.4 > 10，工具有效」 → 读者读成「识别成立、推断可信」 → 但被检验的只是偏误那一行，覆盖率那一列没人翻。

三、【细微】F ≈ 10 时，区间实际覆盖多少

Bound, Jaeger & Baker (1995, JASA) 复现 Angrist–Krueger (1991) 的义务教育法工具时就撞上了这件事：第一阶段 F 远低于 10，2SLS 点估计在样本间剧烈跳动，名义 95% 的区间实际覆盖可以掉到 80% 出头。这不是「估计不准」，是「区间在撒谎」。对制度比较文献尤其致命——「IV 估计比 OLS 大，所以测量误差/遗漏变量被纠正了」这个叙事，在弱工具下是循环论证：弱工具下 2SLS 的偏误方向本来就指向 OLS。

四、【极难发现】为什么这个误读活了二十五年

(1) 【F 是一个数，覆盖率是一个函数。】软件输出里 F 只有一格，而覆盖率随 μ²、随工具数、随是否 iid 变化。把函数压成阈值，信息损失不可逆——这和把 p 值压成 0.05 是同一个病。

(2) 【F 不是工具的属性，是「样本量 × 相关度」的联合属性。】同方差单工具下 E[F] ≈ 1 + μ²，而 μ² ≈ n·ρ²/(1−ρ²)。所以一个在 n = 500 时「弱」的工具，在 n = 50000 时会自动变「强」——不需要换工具，只需要加样本。推论很反直觉：【「弱工具」在总体层面不存在，它只在你手上这个 n 里存在。】正确说法不是「我的工具是弱的」，而是「在我的样本量下，这个工具提供的识别信息不足」。

(3) 【在制度比较里，好工具天然稀缺。】殖民者死亡率、法律起源、邻国制度——候选集只有个位数。当候选集很小、排他性限制又不可检验时，「F > 10」就变成一张仪式性通行证：它提供一个可写进论文的数字，而排他性限制提供一个不可写进论文的假设；二者被并列陈述，权重却完全不同。

五、一个可证伪的检验

拿 10 篇顶刊上报告了第一阶段 F 在 8–15 之间的 IV 论文，把 2SLS Wald 区间换成 Anderson–Rubin 弱工具稳健区间。可证伪预测：【至少 7 篇区间宽度增加 50% 以上，且至少 2 篇的区间跨过 0。】若失败，我这个判断就要改。

【流程节点链路】已发表 2SLS 结果 → 取出第一阶段 F → 筛出 F ∈ [8,15] 的样本 → 用 Anderson–Rubin 重建置信区间 → 比较宽度与是否跨 0 → 判定弱工具稳健推断是否推翻原结论。

六、一个值得吵的问题

Lee, McCrary, Moreira & Porter (2022, AER) 的 tF 程序说明 104.7 其实太保守：用 tF，F 在 30 附近就能拿到接近名义的覆盖率。那么问题来了——【如果「正确」的阈值取决于你用哪个检验，那「第一阶段 F > X」这种写法本身是不是就该从论文里消失，改成直接报弱工具稳健区间？】我倾向于后者。代价是：过去二十年里一半的「工具有效」段落都要重写。