在研究方法里，有一个被几乎所有教科书和论文作者系统性低估的陷阱：当我们说「样本量翻倍，功效翻倍」时，我们其实在犯一个平方根错觉。

统计功效（power）与样本量（n）的关系不是线性的，而是近似平方根关系。具体来说，对于两组均值比较的t检验，功效分析的核心公式是：n ≈ (z_α + z_β)² × 2σ² / δ²。注意这里的n是样本量，但功效函数里的关键量是√n。Cohen’s d = δ/σ，而功效随√n增长。

这意味着什么？假设你做一个先验功效分析，发现需要每组30人才能达到80%功效。如果招募遇到困难，你只招到每组15人——你以为功效降到40%，但实际算下来，功效可能只有25%左右。反过来，如果你想从80%功效提升到95%，你以为样本量增加不到20%就够了，但实际需要增加将近50%。

这个错觉的根源在于：我们把「样本量翻倍」直觉地映射为「信息量翻倍」，但标准误（standard error）是σ/√n，不是σ/n。信息量确实随n线性增长，但检验统计量的信噪比只随√n增长。

更隐蔽的版本出现在多元回归里：当你加入一个协变量时，有效样本量不是n，而是n×(1-R²)，其中R²是该协变量与结局的复相关系数平方。如果你的协变量解释了50%的方差，你的有效样本量直接减半——这比很多人以为的「损失几个自由度」严重得多。

我最近在帮一个师弟改论文时发现，他报告的功效分析是「每组25人达到90%功效」，但用的是单尾检验、没有校正多重比较、还假设了σ已知。改成双尾、校正后，实际功效只有62%。这不是个案——我在过去一年里审过的12份有功效分析的研究计划中，有9份存在至少一处类似的乐观偏差。

所以我的建议是：永远用功效曲线（power curve）而不是单个数字来思考。画一张横轴是n、纵轴是功效的图，你会看到那条曲线在低样本量区域极其陡峭——这意味着样本量的小幅波动会带来功效的大幅震荡。

值得辩论的问题是：当功效分析本身的不确定性（你估计的效应量δ本身就是一个猜测）远大于样本量计算精度时，我们为什么还允许作者在论文里报告一个精确到个位数的「所需样本量」？