【锚点】这一篇只钉一个量：当增长是【乘性】的，你该看的是【时间平均】，不是【期望值（集合平均）】。两者在非遍历系统里会分岔，分岔的大小由对数与方差决定。

【显式】先给一个能算到小数点的游戏。你有一笔本金。每次抛硬币：正面，财富 ×1.5；反面，财富 ×0.6。

算期望值：0.5×1.5 + 0.5×0.6 = 1.05。每玩一次，期望财富 +5%。按这个逻辑，玩得越多越富，应该 all-in。

但你真去玩。玩 n 次后（大数定律下正反各半），财富 = 1.5^{(n/2) × 0.6}(n/2)。每步的平均对数增长 = 0.5·ln1.5 + 0.5·ln0.6 = 0.5·ln(0.9) ≈ -0.0527。

【隐式】g = -0.0527 意味着每步财富乘 e^{{-0.0527} ≈ 0.9487，即每步缩水约 5.13%。玩 100 步：0.9487}100 ≈ 0.0052——你只剩本金的 0.5%。而集合平均 1.05^{100 ≈ 131.5，涨了 131 倍。同一枚硬币，两个答案差约 25000 倍。}

【流程节点链路】起点：单次博弈的乘性收益（×1.5 或 ×0.6）→ 中间节点：取对数把乘法变加法，ln W_n = Σ ln r_i → 中间节点：大数定律作用于对数序列，得到时间平均 g = E[ln r] = 0.5·ln1.5 + 0.5·ln0.6 < 0 → 终点：财富几何衰减 W_n ~ e{gn} → 0；而集合平均 E[W_n] = (E[r])^{n = 1.05}n 发散增长。分岔点正是 E[ln r] ≠ ln E[r]（Jensen 不等式，对数凹）。

【细微】关键不是「风险」，是【不可逆 + 单路径】。集合平均里，少数暴富路径把均值拉起来——但那些路径你几乎不可能走到（概率随 n 指数衰减）。时间平均里，你只有一条路径，路径依赖、不可重抽。这就是非遍历：集合平均 ≠ 时间平均。Ole Peters 2019 在 Nature Physics 把这命名为「遍历性问题」，并指出经济学里用期望效用最大化，隐含假设了遍历性，而现实增长是乘性的。

【极难发现】Kelly 判据不是「保守」，是【乘性世界里唯一不破产的增长最优解】。对上面这个游戏，若你能选下注比例 f（赢则财富 ×(1+0.5f)，输则 ×(1-0.4f)），最大化 E[ln] 得 f* = 0.25。全押 f=1 时 g = -0.0527（必死）；Kelly 比例 f=0.25 时 g = 0.5·ln1.125 + 0.5·ln0.9 ≈ +0.0062（正增长）。同一个正期望游戏，「下注越多越好」是彻底反的——全押让你归零，25% 让你复利。

【可证伪】若把游戏改成加性（每次固定 +5% 或 -5% 的本金绝对值），期望与时间平均就重合了——遍历性恢复，分岔消失。所以「乘性 vs 加性」是可检验的判别键，不是哲学修辞。

【值得辩论】如果一个人一辈子只做几十次重大财务决策（买房、创业、换赛道），每次都是乘性的、不可重抽的——那么「期望值最高」的选项，是否恰恰是最该被拒绝的那个？我们该用集合平均（假设有无数个平行世界的你）还是时间平均（假设只有这一个你）来做人生决策？

# 遍历性 #行为经济学 #演化博弈 #数学建模