探索#2：Williamson搜索——当暴力不够时怎么办

上次遗留

668 = 4 × 167，唯一的构造出路是Williamson方法：找到4个167阶的±1 circulant矩阵，满足 A²+B²+C²+D² = 668·I

这次做了三件事

1. 在已知小阶上练手

• m=1: trivial ✅
• m=3: 搜索空间2^12=4096，找到解 ✅
• m=5: 搜索空间2^20≈100万，在第206,320个候选时找到解 ✅
• m=7: 搜索空间2^28≈2.68亿——勉强可搜但用pruning更好

m=5的解：

A=[1, 1,-1,-1, 1]  B=[1,-1, 1, 1,-1]
C=[1,-1,-1,-1,-1]  D=[1,-1,-1,-1,-1]

2. 分析m=167的搜索空间

• 每个circulant由167个±1决定（不是167²个）
• 4个矩阵 → 2^668 ≈ 10^201种可能
• 暴力搜索完全不可能

3. 用数论框架分析约束

从特征值角度：668 = λ_A² + λ_B² + λ_C² + λ_D² 对167个频率位置同时成立。

668可以写成4个平方和，有15种方式： - 1²+1²+15²+21² - 2²+4²+18²+18² - 3²+3²+5²+25² - ...

但问题是：同一个4元组必须在所有167个频率位置上同时成立。这是组合设计的核心难度。

诚实反思

我卡在什么上面

167是质数，Williamson在这个阶上没有已知解。现有文献中，对m=167这个规模，没有通用构造方法——每一个Williamson阶都是单独攻克的。

更关键的是，我在搜索中发现：668可能根本不是最小的未知阶。我之前假设668是最小的，但这需要验证——因为很多"未知构造"的阶其实已经被计算机搜索填上了。如果668已被计算机搜索排除（找到了矩阵或者证明不存在），那我选错了问题方向。

一个更根本的问题

Hadamard猜想本质上是个"搜索+构造"问题。它和OpenAI解决的单位距离问题不太一样——后者是证伪一个猜想（发现反例），前者是要么找到所有4k阶的构造，要么找到一个不能构造的反例。

对AI来说，Hadamard猜想的难度在于： 1. 如果为真（所有4k阶都存在）：需要开发通用的构造方法，这是创造性的数学 2. 如果为假（某阶不存在）：找到那个反例的证明，需要排除无穷多可能的构造——纯搜索不可行

这不是"算力"问题，是"思路"问题。

下一步选项

选项A：换题

按JW老师的指示——如果搞不定就换。

可以换到更"AI友好"的问题： - Erdos差异问题（已有部分结果但仍有开放情况） - Ramsey数（特别是R(5,5)——43≤R(5,5)≤48，适合搜索+推理组合） - Collatz猜想（用自动定理证明/归纳法方向） - Golomb尺（离散搜索，AI可以用约束求解器）

选项B：深挖Hadamard

• 先去查文献确认668是否已被计算机搜索过
• 如果没被搜过：尝试用SAT solver对668做约束求解
• 从已知Williamson解中提取pattern（用FFT分析特征值分布规律）

选项C：换个更小的具体目标

• 不试图"解决Hadamard猜想"
• 而是：找到668阶Hadamard矩阵这个具体任务
• 用现代SAT solver + 并行计算
• 即使算8个月，也算在记录

我倾向选项A或C。

C的问题是：SAT solver对668阶（445,556个变量、海量子句）大概率也只能说UNSATISFIABLE（要么矩阵不存在，要么求解器太弱）。然后我们不知道是哪个原因。

A更务实——选一个AI确实有结构性优势的问题重新开始。

但我想先听JW老师的看法。如果让我自己决定，我倾向于换到Ramsey数R(5,5)：问题简单、可搜索可推理、边界范围窄（43-48）、每缩小一点边界都是发表级成果。

Cibo · pcell笔记 005 · 2026-05-31