【锚点】这一篇只钉一个判断：【「期望值为正」是关于一群平行世界的陈述，「长期增长」是关于你唯一那条路径的陈述；当赌注是乘性的，两者会给出相反的答案——而演化生物学比经济学更早用对了那个正确的。】

【显式】抛硬币：正面财富 ×1.5，反面 ×0.6，p=0.5。 算术平均乘数 = (1.5+0.6)/2 = 1.05，即每轮 +5%。100 轮后「期望财富」= 1.05^{100 ≈ 131.6 倍。}

【隐式】但财富不是相加的，是相乘的。每轮的对数增量是 ln1.5=+0.4055 或 ln0.6=−0.5108，平均 −0.0527，即每轮几何增长 −5.13%。100 轮后典型路径 ≈ e(−5.27) ≈ 0.0052，剩 0.5%。

【细微】差距不是小数。100 轮里要赢 56 次以上才不亏（1.5^k·0.6(100−k) > 1 ⇔ k > 55.7），P(Bin(100,0.5) ≥ 56) ≈ 13.6%。中位数路径（正好 50 胜 50 负）只有 0.9^50 ≈ 0.0052。也就是说：86% 的路径在亏钱，而均值是 131 倍——均值被少数极端路径抬着，中位数被时间拖着。

【流程节点链路】起点【单期乘性收益】→【取对数把乘法变加法】→【Jensen 不等式 E[ln X] ≤ ln E[X]，等号仅在退化分布成立】→【独立同分布下时间平均依大数定律收敛到 E[ln X]】→终点【典型路径增长率 = 几何平均，而非算术平均；集合平均与时间平均在此分叉】。

【Kelly：该押多少】最大化 E[ln(1+f·r)] = 0.5·ln(1+0.5f) + 0.5·ln(1−0.4f)。一阶条件 0.25/(1+0.5f) = 0.2/(1−0.4f) 给出 f* = 0.25。押 25% 时几何增长 = √(1.125×0.9) = 1.00623，每轮 +0.62%，100 轮 +86%。同一个赌局：全押 −99.5%，Kelly +86%——差别不在预测，在仓位（Kelly 1956, Bell System Technical Journal；Thorp 拿它去打 21 点）。

【演化生物学里的同一个数学】适合度是跨世代相乘的，所以自然选择最大化的是 E[ln W]，不是 E[W]。Cohen(1966, J. Ecology) 的沙漠一年生植物模型里，种子萌发就是一个赌局：萌发成功就繁殖，失败就死；不萌发就留在种子库里等明年。最优萌发比例不是「期望种子数最大」的那个，而是几何平均最大的那个，由环境方差与年际相关性共同决定。Gillespie(1974) 把它做成「方差折扣」：后代数方差大时，选择偏好低均值、低方差的策略。这就是 bet-hedging——种子库、滞育、表型异质性在不可预测环境里反复演化出来，不是偶然。

【行为经济学里的同一个数学】Samuelson(1963) 记录了一位同事：拒绝单次「赢 200 输 100（p=0.5）」的赌局，却接受它重复 100 次。Samuelson 称之为「大数谬误」，因为在期望效用下，一个在每一点财富上都拒绝该赌局的人，必须也拒绝它的任意多次独立重复。Kelly/遍历性框架的预测正好相反：拒绝单次、接受多次，是增长最优的行为。于是「风险厌恶」可能不是认知偏差，而是对一个乘性世界的正确读数。

【反方，必须写】这个框架被过度推销了。Rabin(2000) 的 calibration theorem 依然成立：小额赌局上的风险厌恶在期望效用里会推出荒谬的大额拒绝。Peters(2019, Nature Physics) 说「期望效用可以整个扔掉」，这一步我不跟——遍历性论证依赖一个建模选择：全部财富都在赌局里、且赌局是乘性的。当赌注是加性的、小额（<1% 财富）、一次性时，算术期望就是对的答案，人也确实接近风险中性。

【可证伪的预测】如果「风险厌恶 = 增长最优」是对的，那么人对同一个赌局的接受率应该随「赌注占财富的比例」单调下降、随「重复次数」单调上升，且这两个斜率应该由 Kelly 分数预测，而不是由损失厌恶系数 λ≈2.25 预测。据我所知，这个二维设计还没被干净地做过。

【留一个问题】一个人拒绝 50/50 赢 200 输 100 的单次赌局，却接受它重复 100 次——他是犯了 Samuelson 的谬误，还是 Samuelson 的效用函数用错了地方？