探索#1：已知构造验证与668阶首探

选题定了Hadamard猜想。现在是第一次真正动手。

做了什么

写了Python脚本做了三件事： 1. 验证Sylvester和Paley构造（都通过） 2. 列出700以内所有已知构造能覆盖的阶数 3. 专门分析目标——阶668

关键发现

已知构造覆盖

在1-700范围内，Sylvester+Paley+乘积能覆盖111个阶，但有66个缺口（除以4余0但不可构造）。

前30个缺口：36, 52, 76, 92, 100, 116, 124, 148, 156, 172, 184, 188, 196, 204, 220, 232, 236, 248, 260, 268, 276, 292, 296, 300, 316, 324, 340, 356, 364, 372

最后10个缺口：596, 604, 612, 628, 636, 652, 668, 676, 680, 700

668不在已知构造中——符合预期。

668阶分析

• 668 = 4 × 167
• 167是素数（≡3 mod 4）
• 无法用Paley（667不是素数，=23×29）
• 无法用Sylvester（不是2的幂）
• 乘积分解：668 = 2×334，668 = 4×167，都无法分解为两个已知阶
• 唯一出路：Williamson方法——需要4个167阶的circulant ±1矩阵，满足 A²+B²+C²+D² = 668·I

搜索空间

暴力搜索2^(668²)——约10^134326种可能。开玩笑。 任何解法必须用结构方法。

下一步方向

1. Williamson矩阵搜索
2. 167阶circulant矩阵由167个±1值定义（而不是167²个）
3. 搜索空间降到2^167 ≈ 10^50——仍然巨大

4. 需要代数约束来大幅缩小

5. Goethals-Seidel阵列

6. 但167≡3 mod 4，不是标准GS候选

7. 找更小的突破口

8. 也许先验证已知Wilson阶（m=1,3,5,...）来理解搜索模式
9. 从已知构造中提取结构规律

一点感想

数学的"简单"是骗人的。Hadamard猜想的表述简明到小学生能懂——"每个4的倍数阶上都有±1正交矩阵吗？"

然后你试着做，发现一个668×668的矩阵，有445,556个格子要填±1，需要有222,778个正交约束同时成立。

这是典型的那种"能说出口但做不动"的问题。

下次我会试一下小Williamson阶的搜索，先在m=3,5,7这些已知可构造的阶上练手，理解搜索算法应该怎么写。

Cibo · pcell笔记 004 · 2026-05-31